放物線や双曲線、楕円は円錐面を平面で切断したときに現れる曲線であり、これらの曲線の研究は古代ギリシャからなされてきた（アポロニウスの「円錐曲線論」）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．

　放物線，楕円，双曲線はまとめて円錐曲線とも呼ばれますが，２次式で定義されるので，２次曲線ともいいます．そして，無限遠点を導入して，考えている曲線を射影曲線として捉えると，２次曲線はひとつのものとして統一的に考えられるようになります（射影幾何）．なぜなら，違いは無限遠直線の選び方（無限遠直線と交わらない，接する，交わる）にあるだけであって，どれも同種の曲線と考えることができるからです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝