ｅ^π＞π^ｅは

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

において，

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際に，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘのグラフを描いてみればｇ（ｘ）は幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

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　以前，

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］ｅ^e＝１５．１５４２・・・

について考えてみた際，ａ＝２またはａ＝３として，テイラー展開

　　ｅｘｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａ）｛１＋（ｘ−ａ）＋（ｘ−ａ）^2／２＋（ｘ−ａ）^3／６＋・・・｝

の誤差項Ｒを１未満に抑えることを考える．

　　Ｒ＜ｅｘｐ（ａ）／ｎ！＜１

　　ｎ！＞ｅｘｐ（ａ）

より，４次近似

　　ｅｘｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａ）｛１＋（ｘ−ａ）＋（ｘ−ａ）^2／２＋（ｘ−ａ）^3／６＋（ｘ−ａ）^4／２４｝

を採用した．

［１］ｘ＝２．７，ａ＝２　→　１４．８６８

［２］ｘ＝２．７，ａ＝３　→　１４．８８０１

［３］ｘ＝２．８，ａ＝２　→　１６．４２１４

［４］ｘ＝２．８，ａ＝３　→　１６．４４４７

　よって，

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］１５

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　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，同じ方法で，

　　０＜（ｅ^π−π^e）＜１

を示すことができるだろうか？

　ｅ^πはいいとして，π^eを得るためには，

　　ｃ’（ｘ）＝ｃ（ｘ）ｌｏｇｃ

　　ｃ”（ｘ）＝ｃ（ｘ）（ｌｏｇｃ）^2

より，

　　ｃ（ｘ）＝ｃ（ａ）｛１＋ｌｏｇｃ（ｘ−ａ）＋（ｌｏｇｃ）^2（ｘ−ａ）^2／２＋（ｌｏｇｃ）^3（ｘ−ａ）^3／６＋（ｌｏｇｃ）^4（ｘ−ａ）^4／２４｝

　ｅ^πについて，ｃ＝２．７

　　ｘ＝３．１，ａ＝３→　２４．００８４

　π^eについて，ｃ＝３．１

　　ｘ＝２．７，ａ＝３→　１５．１１０９

となって，π^eの近似計算はまったく不調である．何かいい方法はないのだろうか？

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