■π^π(その10)
[Q]e^eに最も近い整数を求めよ
[A]15
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1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2 (メルカトール級数)
は
log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・
にx=1を代入すると得られます.この式は|x|<1でしか有効ではないので,もしこの式からlog3を求めようとするならばまったく意味をなさないものになります.x=2を代入すると
2−2^2/2+2^3/3−2^4/4+・・・
=2−2+8/3−4+・・・ (振動)
そこで,xを−xで置き換えた級数
log(1−x)=−x−x^2/2−x^3/3−x^4/4−・・・
を組み合わせると
log(1+x)/(1−x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)
が得られます.|x|<1でしか有効ではないのですが,このとき,(1+x)/(1−x)はすべての正値を取ることができますから,たとえば,
(1+x)/(1−x)=2 → x=1/3
したがって,
log2=2(1/3+1/3・3^3+1/5・3^5+1/7・3^7+・・・)
(1+x)/(1−x)=3 → x=1/2
log3=2(1/2+1/3・2^3+1/5・2^5+1/7・2^7+・・・)
一般に,(1+x)/(1−x)=N → x=(N−1)/(N+1)
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logN〜eとなるNを求めればよい
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2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)〜e
2x(1+x^2/3+x^4/5+x^6/7+・・・)
x=1を代入してみると
2(1+1/3+1/5+1/7+・・・)=2・(105+35+21+15)/105=3.35
x=0.8=4/5,x^2=16/25を代入してみる
2・4/5(1+16/25/3+256/625/5+・・・)=2.07
x=0.9=9/10,x^2=81/100を代入してみる
2・9/10(1+81/100/3+6561/10000/5+・・・)=2.52
xは0.9より大きい→???
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これは
2x(1+x^2/3+x^4/5+x^6/7+・・・)の収束の遅いための誤差であり、実際は
xは0.9より小さい
N=15だとすればx=14/16=0.875
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