■π^π(その10)

[Q]e^eに最も近い整数を求めよ

[A]15

===================================

  1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2  (メルカトール級数)

  log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・

にx=1を代入すると得られます.この式は|x|<1でしか有効ではないので,もしこの式からlog3を求めようとするならばまったく意味をなさないものになります.x=2を代入すると

  2−2^2/2+2^3/3−2^4/4+・・・

 =2−2+8/3−4+・・・  (振動)

 そこで,xを−xで置き換えた級数

  log(1−x)=−x−x^2/2−x^3/3−x^4/4−・・・

を組み合わせると

  log(1+x)/(1−x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)

が得られます.|x|<1でしか有効ではないのですが,このとき,(1+x)/(1−x)はすべての正値を取ることができますから,たとえば,

  (1+x)/(1−x)=2 → x=1/3

したがって,

  log2=2(1/3+1/3・3^3+1/5・3^5+1/7・3^7+・・・)

 (1+x)/(1−x)=3 → x=1/2

  log3=2(1/2+1/3・2^3+1/5・2^5+1/7・2^7+・・・)

一般に,(1+x)/(1−x)=N → x=(N−1)/(N+1)

===================================

logN〜eとなるNを求めればよい

===================================

2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)〜e

2x(1+x^2/3+x^4/5+x^6/7+・・・)

x=1を代入してみると

2(1+1/3+1/5+1/7+・・・)=2・(105+35+21+15)/105=3.35

x=0.8=4/5,x^2=16/25を代入してみる

2・4/5(1+16/25/3+256/625/5+・・・)=2.07

x=0.9=9/10,x^2=81/100を代入してみる

2・9/10(1+81/100/3+6561/10000/5+・・・)=2.52

xは0.9より大きい→???

===================================

これは

2x(1+x^2/3+x^4/5+x^6/7+・・・)の収束の遅いための誤差であり、実際は

xは0.9より小さい

N=15だとすればx=14/16=0.875

===================================