ガンマ関数のｎ重公式

　　ΠΓ（x+(k-1)/n）＝ｎ^(1/2ｰnx)（２π）^(n-1)/2Γ（nx）

と三角関数の公式を比較してみよう．

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【１】ガンマ関数の乗法公式

［１］倍数公式

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

　　Γ（x）Γ（x+1/2）＝（２π）^(1/2)Γ（2x）／２^(2x-1/2)

［２］三重公式

　　Γ（x）Γ（x+1/3）Γ（x+2/3）＝２πΓ（3x）／３^(3x-1/2)

［３］ｎ重公式

　　ΠΓ（x+(k-1)/n）＝ｎ^(1/2ｰnx)（２π）^(n-1)/2Γ（nx）

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【２】正弦・余弦の積公式

　正弦・余弦の和公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史がある．一方，和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．ここでは証明は省いたが，複素数を使って証明するのが一番の近道であろう．

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

　　Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ）

　＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）

　＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

　ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば

　　Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1)

θ＝０とおけば

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^(n-1)

また，θ＝π／２とおけば

　　Πｃｏｓｋπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎπ／２）／２^(n-1)

などを導き出すことができる．

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