ｇ（ｘ）＝ｘΠ（１−ｘ^k）^24＝Στ（ｎ）ｘ^n

すなわち，τ（ｎ）を展開式におけるｘ^nのﾝ係数とする．

　τ（ｎ）は，（ｍ，ｎ）＝１ならτ（ｍｎ）＝τ（ｍ）τ（ｎ）

乗法的性質をもっている．

［１］ｎ＝７ｍ＋ｋ（ｋ＝０，３，５，６）→τ（ｎ）＝０　（ｍｏｄ７）

［２］ｎ＝２３ｍ＋ｋ（ｋが２３の平方非剰余であるとき）→τ（２３ｍ＋ｋ）＝０　（ｍｏｄ２３）

［３］τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　（約数の１１乗の和）（ｍｏｄ６９１）

　この係数のおよその大きさを決める問題は難問であったが，ラマヌジャンは素数ｐに対して，

　　｜τ（ｐ）｜≦２ｐ^11/2

であると予想し，これが正しいことは，１９７２年にドリーニュによって証明された，

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　　［参］黒川信重「零点問題集」現代数学社

もよれば，（ラマヌジャン予想）

　　｜τ（ｐ）｜≦２ｐ^11/2

は零点問題の形

　　Ｒｅ（ｓ）＝１１／２

で書くことができるという．

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　１−τ（ｐ）ｐ^-s＋ｐ^11-2s＝（１−αｐ^-s）（１−βｐ^-s）

と分解したとき

　　α＋β＝τ（ｐ），αβ＝ｐ^11

　ここで，

　　｜ｐ^s｜＝｜α｜＝｜β｜＝ｐ^11/2

｜τ（ｐ）｜＝｜α＋β｜≦｜α｜＋｜β｜＝２ｐ^11/2

｀

なお，

　　１−τ（ｐ）ｐ^-s＋ｐ^11-2s＝０ならば

　　（ｐ^s）^2−τ（ｐ）ｐ^s＋ｐ^11＝０

ｐ^s＝｛τ（ｐ）±ｉ（４ｐ^11−τ^2（ｐ）｝／２

　　｜ｐ^s｜＝ｐ^11/2→Ｒｅ（ｓ）＝１１／２

　ドリーニュは巨人グロタンディークの肩に乗って，解決に至ったのである．

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