モーリーの三角形の１辺の長さは，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

で与えられますが，これはα，β，γに関して対称であるから，モーリーの定理が示されたことになる．

この証明には，対称性の高い（美しい）

　　ａｂｃ＝４Ｒ△

やヘロンの公式が使われるに違いないと思っていたのであるが，正弦定理や余弦定理の組み合わせて証明できたことになる．

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【補１】余弦定理

　　ＲＱ^2＝ＡＱ^2＋ＡＲ^2−２ＡＱ・ＡＲｃｏｓα／３

したがって，

　　ＲＱ^2＝６４Ｒ^2ｓｉｎ^2γ／３・ｓｉｎ^2β／３｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝

【補２】三倍角の公式

　　ｓｉｎ３θ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

＝ｓｉｎθ（３−４ｓｉｎ^2θ）

＝ｓｉｎθ（−ｓｉｎ^2θ＋３ｃｏｓ^2θ））

＝ｓｉｎθ（√３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）（√３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ））

＝−４ｓｉｎθ・ｓｉｎ（θ＋π／３）・ｓｉｎ（θ−π／３）

　したがって，

　　ＡＲ＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（α＋β）／３）

＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（π−γ）／３）

＝８Ｒｓｉｎγ／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎ（（π＋γ）／３）

【補３】

｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝＝ｓｉｎ^2α／３

の左辺にて，

　　Ｃ＝（π＋γ）／３

　　Ｂ＝（π＋β）／３

　　Ａ／３＝（π−β−γ）／３＝π−Ｂ−Ｃ

とおくと，左辺Ｘは，

　　Ｘ＝ｓｉｎ^2Ｂ＋ｓｉｎ^2Ｃ＋２ｓｉｎＢ・ｓｉｎＣ・ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）

＝ｓｉｎ^2Ｂｃｏｓ^2Ｃ＋ｃｏｓ^2Ｂｓｉｎ^2Ｃ＋２ｓｉｎＢ・ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ＝ｓｉｎ^2（Ｂ＋Ｃ）

　一方，右辺は

　ｓｉｎ^2α／３＝ｓｉｎ^2（Ｂ＋Ｃ）

　　［参］マスオ「高校数学の美しい物語」ソフトバンク

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