ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

を用いて，

　　Ｒ≧２ｒ

を証明してみましょう．

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　Ｒ−２ｒ＝ａｂｃ／４△−４△／（ａ＋ｂ＋ｃ）

＝｛ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）−１６△^2｝／４△（ａ＋ｂ＋ｃ）

　ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）−１６△^2≧０を示せばよいことになる．

　ヘロンの公式

１６Δ^2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

より，左辺は

左辺＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛ａｂｃ−（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）｝

　ここで，

　　（−ａ＋ｂ＋ｃ）＝２ｘ，

　　（ａ−ｂ＋ｃ）＝２ｙ，

　　（ａ＋ｂ−ｃ）＝２ｚとおくと

ａ＝ｘ＋７，ｂ＝ｙ＋ｚ，ｃ＝ｚ＋ｘ

ａｂｃ−（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

＝（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）−８ｘｙｚ≧０　　（相加相乗平均不等式）

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［おまけ］ａｂｃ−（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）≧０

はレームスの不等式と呼ばれる．

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