チェビシェフの漸近評価の一部は不等式

　　２^2n／（２ｎ＋１）≦2nＣn≦２^2n

に基づいています．上界はΣ2nＣk＝２^2nより明らか，下界は２ｎ＋１個の二項係数の中で2nＣnが最大であり，平均が２^2n／（２ｎ＋１）であることから証明されます．この評価は簡単ではありますが，かなり正確です．

　2nＣnについては，さらに正確な評価を与える

　　２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ

などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果

　　2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）

が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．

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【１】θ（ｘ）≦Ａ1ｘの証明

　２^k-1≦ｘ＜２^kとする．

　　（２ｎ，ｎ）＜Σ（２ｎ，ｊ）＝（１＋１）^2n＝４^n

区間（ｎ，２ｎ］に現れるすべての素数の積は（２ｎ，ｎ）を割り切るから，

　　θ（２ｎ）−θ（ｎ）＝Πｐ≦ｌｏｇ（２ｎ，ｎ）＜ｎｌｏｇ４

　　θ（２^k）＝Σ｛θ（２^j+1）−θ（２^j）｝＜ｌｏｇ４Σ２^j＜ｌｏｇ４・２^k

　　θ（ｘ）≦θ（２^k）＜ｌｏｇ４・２^k＜ｘｌｏｇ１６

→Ａ1＝ｌｏｇ１６＝２．７７２８２５

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【２】θ（ｘ）≧Ａ3ｘの証明

　（２ｎ，ｎ）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を割り切る素数ｐの最大ベキは

　　Σ（［２ｎ／ｐ^k］−２［ｎ／ｐ^k］

和の各項は０または１であるから

　　２^n≦２ｎ／ｎ・（２ｍ−１）／（ｎ−１）・・・ｎ／１＝（２ｎ，ｎ）≦（２ｎ）^π(2n)

　　ｎｌｏｇ２≦π(2n)ｌｏｇ（２ｎ）

　Ａ3は１／２ｌｏｇ２＝０．３６４よりちいさければ，どのような値でも取れることになる．

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