順番が逆になってしまったかもしれないが，ここではチェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」の初等的証明を紹介したい．

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【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

　実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．

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【２】エルデシュによる初等的証明

　チェビシェフは，漸近評価

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

を得るために，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）やガンマ関数を利用しましたが，ベルトランの仮説に対しては，ずっと簡単な証明がラマヌジャンやエルデシュ（１９３２年，１９歳）によって与えられています．

　この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが，エルデシュはまず二項係数の中央の値

　　ｃn＝2nＣn＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2

を考えます．

　これは整数であり，素因数分解するとｎより大きく２ｎ以下の素数があれば，それらはすべて１乗の形の積として現れます．もしもその間に素数がなければ，ｎ以下の素数の積で表されるはずです（実はさらに２ｎ／３以下の素数の積なります．２ｎ／３より大きくｎ以下の素数は分子に２回，分母に２回現れて約分される）．

　ｎまでの素数全体の積は大体ｅ^n暗いというのが素数定理のひとつの表現なのですが，もっと粗く４^nというのなら数学的帰納法で容易に証明できます．ｎと２ｎの間に素数がないならおおざっぱにいって

　　ｃn≦４^(2n/3)

ですが，これはｃn〜４^nという事実に反します．

　以下は割愛しますが，証明の一部は不等式

　　２^2n／（２ｎ＋１）≦2nＣn≦２^2n

に基づいています．上界はΣ2nＣk＝２^2nより明らか，下界は２ｎ＋１個の二項係数の中で2nＣnが最大であり，平均が２^2n／（２ｎ＋１）であることから証明されます．この評価は簡単ではありますが，かなり正確です．

　　４^n／２≦2nＣn≦４^n

［補］2nＣnについては，さらに正確な評価を与える

　　２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ

などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果

　　2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）

が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．

　これまで，この「閑話休題」では標本中央値の漸近分布を求めたり，自由が無限大のｔ分布が正規分布になることや１次元・２次元ランダムウォークが再帰的であるのに対して，３次元以上のランダムウォークが非再帰的（原点に戻ってこれない確率が正）であるを示すのに，スターリングの公式やウォリスの公式，あるいは，2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）などを用いてきました．また，これらの公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などにも用いられますが，ド・モアブル=ラプラスの定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．

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【３】ベルトランの仮説とリーマン予想の間に何がある

　ｎと２ｎの間に素数がある（あるいはｎが十分大きければｎと１．５ｎの間に素数がある）は，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」に較べればずいぶん粗い結果ですが，高度の数学を使わずにかなりの結果が導かれるという一例になっています．

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【４】リーマン予想の先に何がある

　ルジャンドルの予想

　　「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」

はリーマン予想をも超えた未解決問題として知られています．

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