同一の円柱が２本，直角に交わっているときに，共通部分の体積を求めよという問題が「相貫円柱の問題」である．共通部分はスタインメッツの立体あるいはバイシリンダーと呼ばれている．

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【１】相貫円柱

　断面の形が正方形の四角柱を中心軸が直交するように相貫させると，共通部分は立方体となる．２本のときでも３本のときでも立方体である．しかし，半径が等しい２つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分がどのような形になるのか，頭の中で想像するのもなかなか難しい．

（Ｑ）２本の円柱が直角に交わっているとき，共通部分の体積はいくらか．

（Ａ）直角の交差する２本の円筒がテーブルの上に横にして置かれているとしよう．どちらの円筒にも球を入れることができるから，２本の共通部分は球より大きく，球を正八面体状に膨らましたものになる．

　共通部分に球を入れたまま，テ−ブルに水平な平面で２本の円筒を切断すると，切り口は球に接する正方形になる．円とその外接正方形の面積比はπ：４であるから，カバリエリの原理により，球の体積の４／π倍であることがわかる．単位球であれば

　　４π／３×４／π＝１６／３

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【２】アルキメデスの解

　アルキメデスは円柱の直径をｄとするとその体積は

　　２／３ｄ^3

になることを知っていたようである．ここで重要なのは（πは入らない）ということである．なぜ，πは入らないか？

　ｚ軸に垂直な断面を調べてみると，丸い円柱から切り出されているにもかかわらず，切り口は正方形となる．つまり，この立体はごく薄い正方形の層が無数に積み重なったものなのである．

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　ｚ軸に垂直な断面を調べてみると，丸い円柱から切り出されているにもかかわらず，切り口は正方形（１辺の長さ２（ｒ^2−ｔ^2）^1/2）となる．つまり，この立体はごく薄い正方形の層が無数に積み重なったものなのである．

　　Ｖ＝４∫(-r,r)（ｒ^2−ｔ^2）ｄｔ＝１６ｒ^3／３

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