同じ円に内接する正三角形と正方形から正12角形を作図することができる。

同じ円に内接する正三角形と正五角形から正15角形を作図することができる。

そのとき、ラングレーの問題に似た図形ができる。

しかし、同じ円に内接する正三角形と正六角形から正18角形を作図することはできない。

ラングレーの問題の図形は定規とコンパスで作図不可能なのである。

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同じ円に内接する正三角形と正方形から正12角形を作図する

角度はすべて15°の倍数である。

単位円に内接する正12角形の1辺は

2sin(2π/24)=2sin15°

平面正弦定理では，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ａ／Ｒ：ｂ／Ｒ：ｃ／Ｒ

であるから

最小の三角形について

ｓｉｎ30°：ｓｉｎ45°：ｓｉｎ105°＝ａ：ｂ：2sin(2π/24)

ｓｉｎ30°：ｓｉｎ45°：cos15°＝ａ：ｂ：2sin(2π/24)

a=2sin15sin30/cos15

ｂ=2sin15sin45/cos15

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