ａ＝１の場合が九章算術の鼈臑（１／６立方体）であり，ａ＝１／√３の場合がパウル・シャッツ立体（１／１８立方体）である．

　これを一般化して，たとえばａ＝１／√２の立体（１／１２立方体）を作ることは容易である．空間充填三角錐でかつその展開図が平面充填図形（平行六辺形）となっている立体という条件を保ったまま，一般化してみることにしよう．

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【１】一般化パウル・シャッツ立体の計量

　一般化したパウル・シャッツ立体は，６辺の辺長が

　　１，ａ，ａ，（ａ^2＋１）^1/2，（ａ^2＋１）^1/2，（２ａ^2＋１）^1/2

で，２種類の直角三角形

　　（１，ａ，（ａ^2＋１）^1/2）２枚・・・内角(=arctanａ)

　　（ａ，（ａ^2＋１）^1/2，（２ａ^2＋１）^1/2）２枚・・・内角(=arctan（ａ^2＋１）^1/2／ａ)

からなる四面体である．

　相対する１組の稜（辺長ａの辺）は直交し，４頂点の座標は

　　Ａ（０，０，０）

　　Ｂ（１，０，０）

　　Ｃ（０，ａ，０）

　　Ｄ（１，０，ａ）

と表せる．

　これをもとにして二面角を計算すると，

　　ａ＝１　→　４５°，６０°，９０°

　　ａ＝１／√２　→　３５．２６４４°，７０．５２８８°，９０°

　　ａ＝１／√３　→　３０°，７５．５２２５°，９０°

となる．

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【２】中央の穴が閉じたとき，片面が正多角形の平面になるための条件

　パウル・シャッツ環はパウル・シャッツ立体（ａ＝１／√３）３対を使ったサメの顎のような動くおもちゃで，輪郭が正六角形となるとき中央には正三角形の穴があき，中央の穴が閉じたとき片面は正三角形の平面になる．

　６個が中心の１点に会したとき，片面が平面となり中央の穴が閉じるためには，直角三角形（１，ａ，（ａ^2＋１）^1/2）のひとつの内角が６０°となることが必要である．

　　arctanａ＝π／６　→　ａ＝１／√３（パウル・シャッツ立体）

　もし，一般化したパウル・シャッツ立体４対を使った環の８個が中心の１点に会したとき，片面が平面となり中央の穴が閉じるためには，直角三角形（１，ａ，（ａ^2＋１）^1/2）のひとつの内角が４５°となることが必要であるから，

　　arctanａ＝π／４　→　ａ＝１（鼈臑）

　鼈臑は８個の環で連続回転が可能になり、中央の穴が閉じた形をとるが，実際に動かしてみると遊びがあり，同じ角度でも取り得る形はひとつに決まらない．それに対して，６個のパウル・シャッツ立体からなる環は常にタイトで，角度を決めれば形が一通りに定まる１自由度の系である．パウル・シャッツ環の秀逸さを示すものであろう．

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