宇宙は曲がった空間であると考えられているのですが，宇宙全体を見渡すと，もしかしたら想像もつかないような３次元多様体になっているのかも知れません．ガウスがホーエル・ハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルクの３つの山頂からなる巨大な三角形の測量に基づいて，この疑問に答えようとしていたことは有名な逸話になっています．ガウスの目指したものはユークリッドの方法を超えた幾何学＝非ユークリッド幾何学だったというわけです。

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　ひょっとしたら，三角形の内角の和はπより大きいかも・・・．１８１３年にガウスがハノーバー公国にある３つの山，ホーエル・ハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルクの３つの山頂からなる巨大な三角形の測量に基づいて，その和が１８０°よりも１５″角大きいという結論を得ました．

　確かめられたπとの差は測定誤差に基づく近似の精度より小さく，何の結論にも至らなかったのですが，・・・

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　測定誤差を取り除くためにはずっと大きな三角形とはるかに正確な測定が必要となる．宇宙は平坦か，球面的か，双曲的かという問題はまだ解決していないが，宇宙はかなり平坦であることは確かで，曲率は０でないにしても０からほんの少しずれているだけである．前節の三角測量からわかるように，必ず測定誤差が生ずるから，宇宙が平坦であることを証明するのは不可能である．

　逆に，宇宙が湾曲していることを証明することは可能である．測定誤差を考慮したうえで，測定された曲率が非零ならば宇宙は湾曲していることになるからだ．

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