正四面体の４頂点

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

が，ｘｙ平面上の４点

　　（ｃｏｓ０π／４，ｓｉｎ０π／４）

　　（ｃｏｓ２π／４，ｓｉｎ２π／４）

　　（ｃｏｓ４π／４，ｓｉｎ４π／４）

　　（ｃｏｓ６π／４，ｓｉｎ６π／４）

に投影されるためには，２×４行列

Ｍ＝［ｃｏｓ０π／４，ｃｏｓ２π／４，ｃｏｓ４π／４，ｃｏｓ６π／４］

　　［ｓｉｎ０π／４，ｓｉｎ２π／４，ｓｉｎ４π／４，ｓｉｎ６π／４］

が必要になる．

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それでは立方体を正六角形に、一般にｎ次元立方体を正2ｎ角形に投影するにはどうしたらよいのだろうか？

立方体を[0,1]^3と置く。

［参］Forma, Vol. 9 (No. 3), pp. 233-238, 1994

距離√3

(1,1,1)→(0,0,√3)

距離√2

(1,1,0)→(1/√6,1/√2,2/√3)=(1/2,√3/2)~60

(1,0,1)→(1/√6,-1/√2,2/√3)=(1/2,-√3/2)=-60

(0,1,1)→(-2/√6,0,2/√3)=(-1,0)=180

距離1

(1,0,0)→(2/√6,0,1/√3)=(1,0)=0

(0,1,0)→(-1/√6,1/√2,1,1/√3)=(-1/2,-√3/2)=120

(0,0,1)→(-1/√6,-1/√2,1,1/√3)=(-1/2,-√3)/2=-120

距離0　

(0,0,0)→(0,0,0)

[a,b,c]

[d,e,f]

[g,h,i]

を決めればよい。

(1,1,1)→(0,0,√3)

a+b+c=0

d+e+f=0

g+h+i=√3→g=h=i=1/√3

(1,0,0)→(2/√6,0,1/√3)=(1,0)=0

(0,1,0)→(-1/√6,1/√2,1,1/√3)=(-1/2,-√3/2)=120

(0,0,1)→(-1/√6,-1/√2,1,1/√3)=(-1/2,-√3)/2=-120

a=2/√6,b=1/√2,c=1/√3

(1,1,0)→(1/√6,1/√2,2/√3)=(1/2,√3/2)~60

(1,0,1)→(1/√6,-1/√2,2/√3)=(1/2,-√3/2)=-60

(0,1,1)→(-2/√6,0,2/√3)=(-1,0)=180

a+b=1/√6

a+c=1/√3

b+c=-2/√6→a=2/√6,b=-1/√6,c=-1/√6

d+e=1/√2

d+f=-1/√2

e+f=0→d=0,e=1/√2,f=-1/√2

g+h=2/√3

g+i=2/√3

h+i=0→g=h=i=1/√3

が決まることになる

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2次元の場合は

距離√2

(1,1)→(0,√2)

距離1

(1,0)→(1/√2,1/√2)

(0,1)→(-1/√2,1/√2)

距離0　

(0,0)→(0,0)

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