【１】３次の回転行列

　各軸周りの回転角θをオイラー角と呼ぶ．回転行列は

　　　　　［１，　　　０，　　　０　］

　　Ｒ1 ＝［０，　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］

　　　　　［０，−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］

　　　　　［ｃｏｓθ，０，−ｓｉｎθ］

　　Ｒ2 ＝［　　０，　１，　　　０　］

　　　　　［ｓｉｎθ，０，　ｃｏｓθ］

　　　　　［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ，０］

　　Ｒ3 ＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ，０］

　　　　　［　　　０，　　　０，　１］

として，Ａ＝Ｒ1Ｒ2Ｒ3のようなものを考える．

　空間を回転させる行列で直交変換となっているパラメータ数が３つの「回転」かつ「直交」行列として

　　(1)オイラー角に基づくもの

　　(2)ロール・ピッチ・ヨーに基づくもの

がある．(1)はｚ軸まわりの回転α→新しいｙ軸まわりの回転β→新しいｚ軸まわりの回転γ，(2)はｚ軸まわりの回転φ→新しいｙ軸まわりの回転θ→新しいｘ軸まわりの回転ψの３段階によって表すもので，両者に本質的な違いはない．いずれにせよ，軸周りの回転の順番を変えると結果が違ってしまう．

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【２】３次元の回転

　ｘ，ｙ，ｚ軸の周りの回転では使いにくい．そこで，単位ベクトル

　　ｎ＝（α,β,γ）

を回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列はα，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとして

　　R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ

　　R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ

　　R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ

　　R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ

　　R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ

　　R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ

で表される．

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α=β=γ= 1/√3

cosθ=-1/2,sinθ=√3/2

　　R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ＝1/3(3/2)-1/2=0

　　R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ=0

　　R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ=0

　　R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ＝1/3(3/2)+1/2=1

　　R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ＝1/3(3/2)-1/2=0

　　R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ＝1/3(3/2)-1/2=0

　　R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ＝1/3(3/2)+1/2=1

　　R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ＝1/3(3/2)+1/2=1

　　R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ＝1/3(3/2)-1/2=0

[0,1,0]

[0,0,1]

[1,0,0]

これではNG

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