ｎ次元正単体，正軸体，蝶立方体のｋ次元胞の数を表す公式は古くから知られており，Coxeter, Regular Polytopesにも表がついています．

［１］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数は（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

［２］ｎ次元正軸体については，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）です．

［３］ｎ次元超立方体はこの双対で，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　正軸体の場合，

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

において，ｘ＝−１とおくと，

　　nＣ1・２^1−nＣ2・２^2＋nＣ3・２^3−nＣ4・２^4＋・・・＋(-1)^n)nＣn・２^0

すなわち，オイラー標数は，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることが理解されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝