Mathematical Intelligencer誌の読者が選んだ美しい数学公式の一番目と二番目には「オイラー」がランクされている．

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【１】オイラーの公式

　ｅ^x＝Σｘ^n／ｎ！において，ｘの代わりにｉｘとおくと

ｅ^ix＝Σ（ｉｘ）^n／ｎ！

　　＝Σ（−１）^nｘ^2n／（２ｎ）！＋ｉΣ（−１）^nｘ^2n+1／（２ｎ＋１）！

これから，

　　ｅix＝ｃｏｓｘ＋ｉ・ｓｉｎｘ

を得ることができます．

　偉大な数学者オイラーは，このようにして指数関数と三角関数を結びつける美しい関係式：

　　ｅix＝ｃｏｓｘ＋ｉ・ｓｉｎｘ

を見つけました．これにより指数関数と三角関数は複素関数の一部をなしていることが理解されます．一見無関係に見えた指数関数と三角関数のあいだには，実はこのように深い関係が秘められていたのです．

　ｅの複素数乗とはこれいかにと驚かされますが，さらにｘ＝πを代入することにより，数学で最も基本的な数とされるｅ，ｉ，π，０，１がひとつの式の中に美しく現れている眼のくらむようなオイラーの関係式：

　　ｅ^iπ＋１＝０

が得られたのです．スターが一堂に会したこれ以上の豪華な顔合わせは望むべくもありません．

　さらに，ｅは最も簡単な線形微分方程式ｙ＝ｙ’（＝ｙ”＝・・・）の解，πは最も簡単な２階の線形微分方程式ｙ＝−ｙ”の解に現れることがわかりますが，それ以上の高階の微分方程式に対して新しい定数を導入する必要がなかったということも驚くべきことです．

　この有名な公式は数学者，科学者のみならず，神秘主義者，哲学者にも訴えかけるものをもっています．ｅ，ｉ，π，０，１の間の目を見張るような関係式を学んで数学を志すことにしたという話はよく聞かれるところですが，こんな不思議な関係を誰が予想したでしょうか．

　数学を学んだことのある人は誰しもはじめてオイラーの公式に接したときの印象を忘れえないことと思います．このオイラーからの贈り物は人間精神の力量を試す試金石でもありますから，まさに人類の至宝であるといってよいでしょう．

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【２】オイラーの多面体定理

　多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅが成り立ちます．さらに，ｖ＋ｆ＝ｅ＋２（オイラーの多面体定理）が成り立ちますから辺の数ｅは

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

となります．

　オイラーは晩年の１７年間はまったくの盲目でしたが，それにもかかわらず非常に多くの定理，公式を発見していて，量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー数と呼ばれます．また，多面体の示性数ｇは，ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２で定義されます．

　凹型正多面体まで含めると，正多面体は全部で９種類あり，プラトンの立体と呼ばれる凸型５種類の他の４種類は，星形正多面体（ケプラーがみつけた星形小十二面体，大十二面体と約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体の４種類）です．星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示しています．

　オイラーの多面体定理より，凸多面体に対してはｇ＝０となります．ところが，４種類の星形正多面体のうち，２種類はｇ＝０ですが，残りの２種類はｇ＝４になります．ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一ですから，ｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあります．

　なお，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．さらに，一様多面体（準正多面体の星形化）は７５種類，ザルガラー多面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在します．

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