【５】５角形面をもつ空間分割

　金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（〜３５％），ついでｆ＝１５（〜２５％）とｆ＝１３（〜２０％），面の形ではｐ＝５（〜４０％），次がｐ＝６（〜３０％），ｐ＝４（〜２０％）と続く．面の数の平均値はおよそｆ＝１３．６，面あたりの辺の数の平均値はおよそｐ＝５．１２であるという．

　空間分割では面は多かれ少なかれ曲面となるのが通例であるから，多面体は面が曲面であっても辺が曲線であってもかまわないという前提をおいて考えてみよう．

　分割された空間から１個の多面体を分離して考えてみると，１個の頂点に３本の辺が集まり，１辺は２個の頂点を結ぶから

　　２ｅ＝３ｖ

また，オイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

により，

　　ｖ＝２（ｆ−２），ｅ＝３（ｆ−２）

つまり，面の数ｆが与えられれば頂点の数ｖと辺の数ｅは一義に決まり，頂点の数は必ず偶数になることがわかる．そこで，ｆ＝１４なる多面体について調べてみると

　　ｖ＝２（ｆ−２）＝２４，ｅ＝３（ｆ−２）＝３６

　つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではないが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは

　　ｐ＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・

　　ｑ＝２ｅ／ｖ＝３

を得ることができる．

　このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが示唆される．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高いという観察結果に一致しているのである．

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