２０世紀のうちに解決された悪名高き難問に，四色問題「任意の平面地図は高々４色で色分けできるか？」がある．この命題が正しいとの予想は１７０年前になされたのであるが、120年余り証明がなされなかった。

１９７６年，ハーケンとアッペルは４色問題（１８５２年）が正しいことを示した．４色問題（平面上の地図を塗り分けるには４色が必要かつ十分である）は素人でも理解できる問題である．見た目には簡単には思えるが，実は容易に解ける問題ではなく，多くの間違った証明を生み出し，失敗と部分的解決が繰り返されてきた悪名高い問題であるが，かくして４色問題は４色定理となった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ケンペの職業は弁護士であったが，非常に優秀なアマチュア数学者でもあった．１８７９年には四色定理の不完全な証明をしたことで最も有名である．数学史上もっとも有名な間違った証明とされ、10年余り間違いが見つからなかった。（彼の証明には欠陥があったものの，全体的な考え方は非常に聡明なものであったという．）

　５色で色分けできることはヒーウッドによって１００年以上も前から知られていたが，四色問題が肯定的に解決されたのは１９７０年代後半のことで，アペルとハーケンはコンピュータを使ってこの証明を成し遂げた．四色問題の証明は場合分けの数が膨大で，コンピュータによる解析に依存せざるを得なかったのである．

　３次元のｎ個の領域を塗り分けるにはｎ色必要な例を作ることができる．それに対して２次元では「どんな平面地図でも４色で塗り分けられる」ことが証明されたのだが，多くの数学者はこの証明においてコンピュータによる解析が本質的だと知ると落胆し，失望したと伝えられている．

　その証明は１９９５年にロバートソンらによって改良されてかなり簡単になったとはいえ，いまだ手計算で証明を完成させた人はいない．証明の技術的な困難さは克服されず，完全に決着したとはいいがたいのである．ともあれ，四色問題がグラフ理論の発展に対する推進力となったことは確かである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝