紙の上に鉛筆で閉曲線を描く．その際，自分自身と交差すること，また，交点では２個以上の弧が交わってもよいことにする．次に，閉曲線から得られた地図に色を塗るのだが，ある国を黒く塗りつぶし，国境線で隣り合う国はそのままにしておく．

　その結果は市松模様となるが，これは偶然ではない．この事実を初めて知ったのは高校生のときであるが驚き，そして不思議に思ったものである．

　しかし，２色定理の証明はあっけないほど簡単である．どの隣接する２面も同じ色でないように，白と黒の市松模様に塗ることができるためには，１の頂点で偶数の面が交わらなければならない（＝頂点の次数はすべて４以上の偶数）ことに気づきさえすればよいのであるが，ここでは別法，数学的帰納法を使って証明してみたい．

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［１］線が１本なら２色で塗り分けすることができる．（ＯＫ）

［２］線がｎ本のとき２色で塗り分けすることができるならば，ｎ＋１本のときも２色で塗り分けすることができる．

　ｎ＋１本から１本の線を消す．これは２色で色分け可能である．ここで，消した線を元に戻す．この線の一方の側をそのままにして，もう一方の側の白黒を反転させると，全領域でも２色で色分け可能であることわかる．（ＯＫ）

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このようにすべての頂点次数が偶数の場合、２色定理が成立する。

４色定理の証明はこれに比べてはるかに難問である。東野圭吾「容疑者Xの献身」では難問に挑戦して一生を棒に振る数学者が登場する。

大数学者のミンコフスキーは「この問題が証明されていないのは、それに挑戦した数学者が一流でなかったからだ」と学生の前で豪語したという。

証明に手を付けたが結局、それを成し遂げることはできなかった。「天は私の尊大さに腹を立てたようだ」と述べたという。

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