以下，結果だけを紹介します．

［１］Ｑ（√−１）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

ですから，

　　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）　→　　１

　　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

［２］Ｑ（√２）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

　　　ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝３，５（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・

［３］Ｑ（√−２）

　　（−２／ｐ）＝（２／ｐ）（−１／ｐ）＝（２／ｐ）（−１）^{(p-1)/2}

　　　ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝５，７（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　たとえば，Ｑ（√２）においては，ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）なる素数が

　　７＝（３＋√２）（３＋√２）

　　１７＝（５＋２√２）（５−２√２）

　　ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2

　Ｑ（√−２）においては，ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）なる素数が

　　３＝（１＋√−２）（１−√−２）

　　１１＝（３＋√−２）（３−√−２）

　　ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2

のように分解されます．

　こうして冒頭に掲げた類体論の話に至るのです．

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

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