【１】平方剰余の相互法則

　　（ａ／ｐ）＝＋１　←→　ａがｐを法とする平方剰余

　　　　　　　　　　　（ｘ^2＝ａ　ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）

　　（ａ／ｐ）＝−１　←→　平方非剰余（そうでないとき）

と定義します．

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０　　（ｍｏｄｐ），（２ａ，ｐ）＝１

の形の合同式を解を見出すことは

　　ｘ^2＝ｑ　　（ｍｏｄｐ），（２ａ，ｐ）＝１

の形の合同式を解を求めることに帰着されます．なぜなら，この合同式は合同式（２ａｘ＋ｂ）＝ｂ^2−４ａｃ　　（ｍｏｄｐ）と同値．したがって，ｚ^2＝ｑに対応して，２ａｘ＋ｂ＝ｑを解けばよいからです．

　そこで，整数ａに対して，

　　ｘ^2＝ａ　　ｍｏｄｐ

となる整数ｘが存在するかどうかを考えると

　　Ｚ／ｐＺ＝Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝

について代入してみればいいわけで，ｐ＝５の場合，

　　０^2＝０，１^2＝１，２^2＝４，３^2＝９＝４，４^2＝１６＝１

ですから，ａ＝１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ＝２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，

　　（１／５）＝（４／５）＝１，（２／５）＝（３／５）＝−１

となります．

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．

　前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2＝５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

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