ブラーマグプタの恒等式とは

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

ですが，Ｎ＝−１とおくとフィボナッチの等式が得られます．

（ｘ^2−Ｎｙ^2）（ｚ^2−Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2−Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）^2

（ｘ^2−Ｎｙ^2）（ｚ^2−Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2−Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）^2

（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）^2

（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）^2

　ブラーマグプタの恒等式はフィボナッチの等式になっているのですが，

［１］ｘ^2＋Ｎｙ^2型整数の積は，再びｘ^2＋Ｎｙ^2型整数として表すことができることを示しています．

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［２］３ｎ＋１型素数（必然的に３ｎ＋１型素数）はｘ^2＋３ｙ^2に分解される．

　　７＝２^2＋３・１^2

　　１３＝１^2＋３・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　１９＝４^2＋３・１^2

　　２１＝２^2＋３・３^2

　　３７＝５^2＋３・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　４７＝４^2＋３・３^2

　　７・１３＝（２^2＋３・１^2）（１^2＋３・２^2）

Ｎ＝３，ｘ＝２，ｙ＝１，ｚ＝１，ｔ＝２

を

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）

に代入すると

　　７・１３＝９１＝８^2＋３・３^2＝４^2＋３・５^2

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［３］８ｎ＋１型素数，８ｎ＋３型素数はｘ^2＋２ｙ^2に分解される．

　　３＝１^2＋２・１^2

　　１１＝３^2＋２・１^2

　　１７＝３^2＋２・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　１９＝１^2＋２・３^2

　　４１＝３^2＋２・４^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　４３＝５^2＋２・３^2

　　３・１１＝（１^2＋２・１^2）（３^2＋２・１^2）

Ｎ＝２，ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝３，ｔ＝１を

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）

に代入すると

　　３・１１＝３３＝５^2＋２・２^2＝１^2＋２・４^2

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