ミンコフスキーはアインシュタインの先生として有名で，相対論における基本概念はミンコフスキーにその起源をたどることができます．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　この定理は非常に単純であるにもかかわらず，他の方法では解決することのできなかった数論における多くの問題を解明したのですが，格子点定理を用いると，初等的な定理，たとえば，

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

なども証明することができます．２次形式の理論が発展していく段階では，ミンコフスキーが非常に大きな貢献をしていて，格子点の幾何学はミンコフスキーの「数の幾何学」に端を発するのです．

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［１］ｘ^2＋１＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが４ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式が解けるための条件は

　　（−１／ｐ）＝（−１）^(p-1)/2

［２］ｘ^2＋２＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが８ｍ＋１または８ｍ＋３の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式が解けるための条件は

　　（２／ｐ）＝（−１）^(p^2-1)/8

［３］ｘ^2＋３＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが６ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式は（−３／ｐ）＝１ととき，そのときに限り解ける．

　　（−３／ｐ）＝（ｐ／３）

　　ｐが６ｍ＋１の形のとき１，６ｍ＋５の形のとき−１

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　２平方和定理「２より大きい素数が２つの整数ａ，ｂを用いて，ｐ＝ａ^2＋ｂ^2と表されるためには，ｐが４ｎ＋１型素数であることが必要十分である」は，ガウス整数の世界では

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と素因数分解される条件を与えている定理であるとみることができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋１型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　５ｎ＋２型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋３型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋４型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　１２ｎ＋５型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋７型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋９型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

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　素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆している．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのである．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

の９個に限られる．

　なお，類数１の実２次体Ｑ（√ｄ）は無数に存在するであろうというガウス予想は現在でも未解決である．

［補］虚２次体Ｑ（√ｄ）の整数環がユークリッド整域となるのは，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１

の５つの場合に限る．実２次体Ｑ（√ｄ）に対しては

　　ｄ＝２，３，５，６，７，１１，１３，１７，１９，２１，２９，３３，３７，４１，５７，７３

に限ることが知られている．

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