正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類ある．立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，正八面体と立方体の展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体の展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．

［Ｑ］すべての辺長が１の正多面体の頂点数をｖとする．このとき，展開図の外周の長さは？

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［Ａ］展開図の切り口はすべての頂点を通る全域木であるので，その長さは（ｖ−１）．展開図の外周の長さはその２倍の２（ｖ−１）である．

　たとえば，立方体の１１種類の展開図の外周の長さはすべて

　　２（８−１）＝１４

正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あるがどちらも外周の長さは

　　２（４−１）＝６である．

　辺展開図にこだわらなければ，切り口の長さと外周の長さをもっと短くすることができる．

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