正多面体の展開図を描いてみる．正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．正八面体は立方体の双対図形であるから，展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体も互いに双対図形であり，展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】シェパードの問題

面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）の辺に沿って切ったときの展開図を考えて，少なくともひとつの展開図は平面充填可能な図形になるか否かという「シェパードの問題」である。

　　［参］G.C. Shephard: Tessellation Polyhedra

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　面正則多面体を辺に沿って切り開いた展開図のうち，少なくともひとつがタイル貼りできる性質（ＴＰ）をもつ多面体をすべて決定せよというのが「シェパード問題」です．

　この問題は手軽で面白く，小学生でもその気になれば取り組むことができます．昨年，この問題は数セミの「エレガントな解答を求む」にも出題されたことから，ご存じの方も多いと思います．

　考察の対象となる面正則多面体は

［１］正多面体：　　５種類

［２］準正多面体：　　１３種類

［３］アルキメデス角柱：　　無限系列

［４］アルキメデス反角柱：　　無限系列

［５］ＪＺ多面体：　　９２種類

ですが，シェパード先生は自ら１４種類（正１２面体を除く４種類の正多面体と１０種類のＪＺ多面体Ｊ1，Ｊ12-17，Ｊ51，Ｊ84，Ｊ86）がＴＰ多面体であることを示しました．

　その後，秋山仁先生らによって新たに８種類（六角反柱，Ｊ10，Ｊ49-50，Ｊ87-90）のＴＰ多面体が発見されましたが，最終的にいくつあるのか完全には決定できないままになっていました．最終的に，ステファン・ランゲルマン氏によってＪ8が最後のＴＰ多面体であることが証明され，これでＴＰ多面体のリストは，以下の２３種類ですべてであると決定されました．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ＴＰ多面体のリストアップ

［１］正多面体：　　正１２面体を除く４種類

［２］準正多面体：　　すべてＮＧ

［３］アルキメデス角柱：　　四角柱（立方体）

［４］アルキメデス反角柱：　　六角反柱，三角反柱（正八面体）

［５］ＪＺ多面体：　　１８種類（Ｊ1，Ｊ8，Ｊ10，Ｊ12-17，Ｊ49-51，Ｊ84，Ｊ86-90）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】雑感

　シェパード先生や秋山先生の成果はいろいろ試した結果であって，すべての組み合わせについてしらみつぶしに検索したわけではないですし，試行錯誤でそこまでやることは到底出来ません．本質的にコンピュータによる解析なしに解決し得ない問題なのです．

コンピュータ計算による網羅的な探求の例としては，以下の２つの有名な極値問題が解決されたことがあげられます．

(1)１９８８年，ヘールズはケプラーの球の詰め込み問題（１６１１年）が正しいことを示した．

(2)１９７６年，ハーケンとアッペルは４色問題（１８５２年）が正しいことを示した．

　膨大な数のすべての組み合わせについて漏れなく探索するためにはコンピュータプログラムが必要になるわけですが，ひとつの多面体であっても展開図の個数は非常に多くなってしまいます．以前，オルーク先生にうかがったところによると（いまのところ）シェパード問題に対するアルゴリズムはないということでした．

　したがって，ステファン・ランゲルマン氏は非常に短時間で新規のアルゴリズムを実装し，コンピュータを用いて探索したことになるわけです．とはいえ，探索には長時間を要し，例えばＪ85がＴＰでないことを示すのに，彼の適用機器とシステム構成をもってしても稼働時間が３日もかかってしまったそうです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝