正多面体の展開図を描いてみる．正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．正八面体は立方体の双対図形であるから，展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体も互いに双対図形であり，展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．

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【１】シェパードの問題

面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）の辺に沿って切ったときの展開図を考えて，少なくともひとつの展開図は平面充填可能な図形になるか否かという「シェパードの問題」である。

　　［参］G.C. Shephard: Tessellation Polyhedra

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【２】もうひとつのシェパードの問題（デューラー予想）

シェパードは展開図に関する数学の予想（デューラー予想）を定式化した。

あらゆる凸の多面体は、面がいずれかの辺で一連につながった、面が重ならない展開図にすることができるか？

という問題である。

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