８で割ったときに１または３余る素数pはただ一つの方法でx^2+2y^2の形で書くことができ、２つの複素数の積の形に分解されて書き表すことができます

ｐ=x^2+2・y^2=(x+y√-2)(x-y√-2)

８で割ったときに5または7余る素数pはこのように分解することはありません。

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８で割ったときに１または7余る素数pはただ一つの方法でx^2-2y^2の形で書くことができ、２つの複素数の積の形に分解されて書き表すことができます

ｐ=x^2-2・y^2=(x+y√2)(x-y√2)

８で割ったときに3または5余る素数pはこのように分解することはありません。

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17=5^2-2・2^2=(5+2√2)(5-2√2)ですが、

17=(9+7√2)(-9+7√2)=(23+16√2)(23-16√2)=(52+39√2)(-55+39√2)=・・・

一見すると素因数分解の一意性が成り立たないかのように見えますが、

単数(1+√2)(-1+√2)=1ですから

(5+2√2)(1+2√2)=(9+7√2)

(5-2√2)(-1+2√2)=(9-7√2)ですから

単数(1+√2),(-1+√2)を考えなければただ一つの方法で、分解されます。

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