公差３の（ｘ，ｘ＋３，ｘ＋６）の３つ組の素数絵列は起こり得ない．その中のひとつは常に偶数になるからである．

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（証）ｘは２の倍数，２の倍数＋１のいずれかであるが，

ｘは偶数→ｘ＋３は奇数→ｘ＋６は偶数

ｘは奇数→ｘ＋３は偶数→ｘ＋６は奇数

　したがって，長さが３以上の等差素数列を作るためには，公差は偶数かつ３の倍数でなければならない．すなわち６の倍数でなければならない．

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　同様に，公差６の（ｘ，ｘ＋６，ｘ＋１２，ｘ＋１８，ｘ＋２４）の５つ組の素数列は（５，１１，１７，２３，２９）以外では決して起起こり得ない．その中のひとつは常に５の倍数になるからである．

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