（ｘ，ｘ＋２，ｘ＋４）の３つ組の素数列は（３，５，７）以外では決して起こり得ない．その中のひとつは常に３で割り切れるからである．

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（証）ｘは３の倍数，３の倍数＋１，３の倍数＋２のいずれかであるが，

ｘは３の倍数→ＮＧ

ｘは３の倍数＋１→ｘ＋２は３の倍数→ＮＧ

ｘは３の倍数＋２→ｘ＋２は３の倍数＋１→ｘ＋４は３の倍数→ＮＧ

３の倍数で素数なのは３だけであるから（３，５，７）以外では決して起こり得ない．

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（別証）２と３を除くすべての素数は６ｎ＋１型か６ｎ−１型である．また，三つ子素数には必ず３の倍数が含まれていなければならない．よって，三つ子素数は（３，５，７）だけである．

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