四つ子素数（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）について，ｍｏｄ３で考えると，ｐは３ｎ＋２型素数でなければならないことがわかる．ｍｏｄ５で考えると，ｐは５ｎ＋１型素数でなければならないことがわかる．

　実は中国剰余定理より，ｐは３０ｎ＋１１型素数でなければならないのであるが，そのことを示してみよう．

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　連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ２）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝１　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−４　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝１がこの合同式の解である．

　ｘ＝１１となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１１　　（ｍｏｄ３０）

である．

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　４５桁の数，

８０２，３５９，１５０，００３，１２１，６０５，５５７，５５１，３８０，８６７，５１９，５６０，３４４，３５６，９７１

はそのようなｐである．

　これが３０ｎ＋１１型の整数であることを示すのは易しい．

８０２，３５９，１５０，００３，１２１，６０５，５５７，５５１，３８０，８６７，５１９，５６０，３４４，３５６，０００

を３桁毎に区切って３の倍数かどうか調べてみると

（＋１）（−１）（０）（０）（＋１）（−１）（−１）（−１）（−１）（０）（０）（−１）（−１）（−１）（０）であるから３の倍数である．→３０の倍数である．

９７１＝９６０＋１１＝３０・２１０＋１１→３０ｎ＋１１型整数である．

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