（ｐ，ｐ＋４，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数と定義した場合も同じだろうか？

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【１】三つ子素数

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋４＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝１　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋４＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋１型素数でなければならない．

ｐ＝１（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋４＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝２（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋４＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝３　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝３（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋４＝２　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝４　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝４（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋４＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝０　　（ｍｏｄ５）

→ｐは５ｎ＋２型素数あるいは５ｎ＋３型素数でなければならない．

［１］（２ｎ＋１，３ｎ＋１，５ｎ＋２）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝０　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝０がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→１＋６ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝１　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝１がこの合同式の解である．

　ｘ＝７となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝７　　（ｍｏｄ３０）

である．

［２］（２ｎ＋１，３ｎ＋１，５ｎ＋３）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝３　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝０　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝０がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→１＋６ｘ3＝３　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝２がこの合同式の解である．

　ｘ＝１３となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１３　　（ｍｏｄ３０）

である．

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【３】まとめ

　三つ子素数（ｐ，ｐ＋４，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋７型素数あるいは３０ｎ＋１３型素数でなければならないことがわかった．

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