一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのですが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角ですから，両者を組み合わせて空間充填が可能になります．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填します．それでは任意のｎ次元正多胞体による空間充填はどうなっているのでしょうか？

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【１】単一種による空間充填

　ｎ次元正多胞体が（ｎ−１）次元胞を共有しあいながら各（ｎ−２）次元構成要素の周りに一定の状態で集まって，ｎ次元空間を隙間なく埋め尽くすことがある．たとえば，３次元空間内において立方体｛４，３｝が面を共有しあいながら各辺の周りに４個ずつ集まると３次元立方格子｛４，３，４｝になる．

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩である．

　４次元空間において正多胞体｛ａ，ｂ，ｃ｝が胞を共有しあいながら各面の周りにｄ個ずつ集まる４次元空間充填図形を｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝と書くことにすると，これには４次元立方格子｛４，３，３，４｝，正１６胞体格子｛３，３，４，３｝，正２４胞体格子｛３，４，３，３｝の３種類がある．

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

　４次元正多胞体の二面角（二胞角というべきか）は

　　正５胞体　→　ｃｏｓδ5＝１／４　（７５°ほど）

　　正８胞体　→　ｃｏｓδ8＝０　（９０°）

　　正１６胞体　→　ｃｏｓδ16＝−１／２　（１２０°）

　　正２４胞体　→　ｃｏｓδ24＝−１／２　（１２０°）

　　正１２０胞体　→　ｃｏｓδ120＝−（√５＋１）／４　（１４４°）

　　正６００胞体　→　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８　（１６５°ほど）

である．

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）であるが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造Ｄ4は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．５次元以上の空間充填形は１種類になる．

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【２】４次元の異種充填形

　２種類以上の正多胞体の組み合わせで各辺の周りに一定の状態で集まる空間充填としては，３次元空間内において正４面体と正８面体が交互に集まるものがあるが，この４次元版は正１６胞体単独による空間充填｛３，３，４，３｝となってしまう．

　ところで，正５胞体（ｃｏｓδ1＝１／４，ｓｉｎδ1＝√１５／４）と正６００胞体の二面角（ｃｏｓδ2＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ1＝（√１５−√３）／８）を足すと２４０°になる．

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−１／２

　正５胞体，正６００胞体の境界多面体は正４面体であるから，正４面体を境界多面体とし１２０°の二面角を有する正１６胞体との３種類の組み合わせによる局所的な空間充填は可能である．

　問題は大域的な空間充填が可能であるかどうかという点である．これを確かめるには３つの正多胞体によるトポグラフがピッタリである．このトポグラフは枝の生い茂った樹木のような連結グラフであるが閉路をもつもので，三又の木で区切られた領域の各頂点のまわりに３つの正多胞体を配置すると，１つの正５胞体には正１６胞体と正６００胞体がそれぞれ２つずつ接するから５番目の胞に接するのは正５胞体でなければならない．しかし，２つ以上の正５胞体が接するとき，その隙間を埋めることのできる正多胞体は存在しない．

　５次元以上の異種充填形が存在しないことも簡単に証明できる．まとめると，４次元以上の空間で２種類以上の正多胞体の組み合わせによる空間充填図形は存在しないことになる．

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