【２】高次元の空間充填形

　空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです．超立方体の二面角はつねに９０°ですから，これによる空間充填形は何次元でも可能ということになります→超立方体による空間充填形（４，３，・・・，３，３，４）．

　正単体の二面角は

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

ですから，ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１になりません．これは正三角形による平面充填形（３，６）に他なりません．

　双対立方体の二面角は

　　ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ

より，ｎ＝２のとき９０°→正方形による平面充填形（４，４）．ｎ＝４のとき１２０°→４次元正１６胞体による空間充填形（３，３，４，３）．

　また，この双対（３，４，３，３）も空間充填形ですが，その構成要素は（３，４，３）すなわち４次元正２４胞体です．

　以上より，１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類，３次元空間充填形１種類，４次元空間充填３種類，５次元以上の空間充填形は１種類ということになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝