基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角

　　∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1

は超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．

　二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が

　　δｐn＜２π

で表されるからです．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたります．

　超立方体の二面角はつねに９０°ですが，正単体の２面角は，頂点（ｘ，ｘ，・・・，ｘ），底面の中心ｏn-1（１／ｎ，・・・・，１／ｎ），１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））の関係から

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

　双対立方体の２面角は，たとえば，頂点（±１，０，・・・，０）と赤道面の１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））より，

　　ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ

と計算されます．

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　前項と同様の方法によって，４次元の空間における正則胞体の必要条件を定めることができます．（ｐ，ｑ，ｒ）すなわち合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．

　３次元正多面体（ｐ，ｑ）を各辺のまわりにｒ個集めてできる４次元正多胞体の必要条件は，２面角のｒ倍が４直角未満ですから，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）．

　立方体（４，３）の２面角は直角ですから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます→（３，４，３），（５，３，３）．正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　すなわち，正４面体に対してはｒ＝２，３，４．正６，８，１２面体に対してはｒ＝３．正２０面体では許されないので，結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　そして，実際にこの６通りの正多胞体が構成できます．なお（４，３，４）は角の和がちょうど４直角となるので，３次元空間充填形です．

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　これらを一般的な条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，

　　２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））

このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）

すなわち，

　　ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）

より，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

同様に，

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が導かれます．

　以上の必要条件をまとめると

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

となります．

　なお，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけということになります．

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