【１】高次元の正多胞体

　ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．

　２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）

で表現されます．

　たとえば，

　　ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），

　　双対立方体は（３，３，・・・，３，４），

　　超立方体は（４，３，・・・，３，３）

と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．

　基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は

　　ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．

　また，（ｎ＋１）次元空間内の正多胞体はｎ次元球面上に射影することによって球面充填形になるのですが，そのような方法によって，３次元正多面体の基本単体の個数を（ｐ，ｑ）を用いて表すと

　　ｇ＝４π／π（１／ｐ＋１／ｑ−１／２）＝８ｐｑ／｛４−（ｐ−２）（ｑ−２）｝

　さらに，

　　ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ） なる関係を掲げますが，ここでｈはペトリー数と呼ばれるもので，反転が何回でもとに戻るかという群論（鏡像変換）に関係した基本量です．４次元正多胞体の場合は

　　ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）

で表されます．

　ところで，正ｎ角形にはｎ本の対称軸があります．そこで，正多面体の対称面の個数は？　ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？　という問題が派生します．答を先にいうと，この解はｎを次元数，ｈをペトリー数として

　　ｍ＝ｎｈ／２ 枚で与えられます．

　正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．

次元　　　　　　　対称面数ｍ　　　　ペトリー数ｈ　　基本単体数ｇ

２　　正ｐ角形　　　　ｐ　　　　　　　　ｐ　　　　　　　２ｐ

３　　（３，３）　　　６　　　　　　　　４　　　　　　　２４

３　　（４，３）　　　９　　　　　　　　６　　　　　　　４８

３　　（３，４）　　　９　　　　　　　　６　　　　　　　４８

３　　（５，３）　　　１５　　　　　　　１０　　　　　　１２０

３　　（３，５）　　　１５　　　　　　　１０　　　　　　１２０

４　　（３，３，３）　１０　　　　　　　５　　　　　　　１２０

４　　（３，３，４）　１６　　　　　　　８　　　　　　　３８４

４　　（４，３，３）　１６　　　　　　　８　　　　　　　３８４

４　　（３，４，３）　２４　　　　　　　１２　　　　　　１１５２

４　　（３，３，５）　６０　　　　　　　３０　　　　　　１４４００

４　　（５，３，３）　６０　　　　　　　３０　　　　　　１４４００

ｎ　　正単体　　　　　ｎ（ｎ＋１）／２　ｎ＋１

ｎ　　双対立方体　　　ｎ^2　　　　　　　２ｎ　

ｎ　　超立方体　　　　ｎ^2　　　　　　　２ｎ　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝