宮崎興二先生は数十年前に４次元の正多胞体（５胞体，８胞体，１６胞体，２４胞体，１２０胞体，６００胞体）の模型を製作された．なかでも正１２０胞体は宮崎興二先生一番のお気に入りの模型であり，それを受けて中川宏さんは正１２０胞体の胞心模型を数年前に木工製作している．

　石井源久先生も学生時代には半正多胞体の模型を作っては発表されたことがあるそうだ．今回のコラムでは，石井源久先生の助けを借りて，宮崎興二先生による正多胞体模型について紹介してみたい．

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【１】４次元正６００胞体の３次元投影（点心模型）

　正２０面体の辺の長さを１，

　　ａ＝（√（τ＋２））／２=.951057

　　ｂ＝（√３）／２=.866025

　　ｃ＝ａ／τ=.587785

　　Δ1＝１^3，Δ2＝１ａ^2，Δ3＝１ｂ^2，Δ4＝１ｃ^2，Δ5＝ａｂｃ

とする．１：ａは正２０面体の頂点間距離：中心頂点間距離，１：ｂは正１２面体の頂点間距離：中心頂点間距離／τとなる．Δ2面，Δ4面，Δ5面は正２０面体の辺心図に現れる面の形である．以下，ゾムツールによる正２０面体の辺心図の写真を掲げる．

　中心となる正二十面体の周りに扁平な四面体（α体＝Δ1Δ3^3）を２０個を互いに接するように集め，できたくぼみにもっと扁平な四面体（β体＝Δ3^4）を３０個を入れる．β体は長さ１の対辺が直交する等面四面体である．

［１］α体

［２］β体

　このとき，外形はそれぞれの面の中心が少しへこんだ正１２面体状になっていて，そのくぼみに四面体（γ体＝Δ2Δ3Δ5^2）を５個ずつ計６０個おく．そうすると，外形は菱形３０面体になって，その菱形のうえにδ体＝Δ4^2Δ5^2を２個ずつ６０個おく．

［３］γ体

［４］δ体

　そのときにできるくぼみにε体＝Δ3Δ4Δ5^2を６０個おいて，１２・２０面体状の稜線ができるようにする．このときできる多面体は１２・２０面体の正三角形面が凹んだようになっていて，そこにζ体＝Δ1Δ4^3を２０個を積んでいけばζ体のうえにΔ4面２０枚，ε体のうえにΔ4面６０枚の計８０枚の三角形よりなる正２０面体群に属する外形ができる（２５０＋１ピース）．このΔ4面は退化した四面体（η体＝Δ4）と考えられる．それらは隙間なく密集し，中心部分にあるものほど大きく実形に近いし，外殻に近づくほど扁平になる．

［５］ε体

［６］ζ体

［７］η体

　また，中心となる正二十面体の中心と頂点を結ぶと，２０個の四面体（ω体＝Δ1Δ2^3）の集まりとなる．

［８］ω体

　η体は表側と裏側の境界と考えられるから

　　表２７０（２０＋２５０）＋境界６０＋裏２７０＝６００

個の正四面体状胞体が集まった正６００胞体になる（２７０ピース）．

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【２】４次元正１２０胞体の３次元投影（胞心模型）

　中心となる正十二面体の周りに扁平な十二面体（ここではα体と呼ぶことにする）を１２個を互いに接するように集め，できたくぼみにもっと扁平な十二面体（β体）を２０個を入れる．さらにそのくぼみに１２面体（γ体）を１２個を置く．これらは隙間なく密集し，中心部分にあるものほど大きく実形に近いし，外殻に近づくほど扁平になる．

　このα体は正五角形を２枚を両極に置き，その間につぶれた五角形（δ面）１０枚を置いてできるちょっとつぶれた１２面体，β体は両極にδ面を３枚ずつ，側面にもっとつぶれた五角形（ε面）を互い違いに６枚置いたもっとつぶれた１２面体，γ体は正五角形２枚とε面１０枚でできるもっとつぶれた１２面体として構成することができる．δ面とε面は正１２面体の辺心図に現れる面の形であるが，これらの計量については，コラム「４次元正１２０胞体の３次元投影」を参照してほしい．

　中川宏さんはこれまで４次元正１２０胞体と原始的４次元３０胞体の木工胞心模型を作られたことがある．前者は４５ピース，後者は１５ピースの組み合わせであるが，木工であるから折り紙で作る場合とは違って高い精度の要る仕事となった．

　できあがった４次元正１２０胞体の３次元投影図を見ると，頂点と稜の連結形態は正しく現れているものの，そこには１２０個ではなく１＋１２＋２０＋１２＝４５個の正十二面体があるだけである（４５ピース）．

　しかし，これは透視図ではなく直投影での話であるから，投影に際して重なり合って見えないのもあるだろう．表側半分しか見えないという事情は４次元でも同じで，隠線処理しないならば２重の多面体が外殻としての大きな多面形の中を埋めつくす．しかし，それならば４５＋４５＝９０個となるはずである．残りの３０個はどこへいったのだろう？

　そこで，できあがったものをよく見ると平面につぶれた切頂黄金菱形３０枚が外回りに現れている．これは退化した正十二面体であり，裏に隠れる瞬間の正十二面体と考えることもできる．すなわち，退化した正十二面体を挟んでもう一度内側の正十二面体を数えると全部で４５＋３０＋４５＝１２０個の正十二面体が集まっていることになる．表側に４５個，裏側に４５個，その境界に３０個というわけである．

　正１２０胞体の胞心模型の外形は切頂菱形３０面体である．菱形３０面体の諸計量はｆ＝３０，ｅ＝６０，ｖ＝３２（ａ5＝１２，ｏ3＝３０）であるから，この切頂菱形３０面体は合計４２面からなる正２０面体群の対称性を有する多面体となる．

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【３】４次元正５胞体の３次元投影（点心模型）

　正四面体を重心で４分割した四面体４つにより，正四面体を作る．その正四面体全体を包む正四面体を考えれば，５つの正四面体状胞体よりなる正５胞体になる（４ピース）．

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【４】４次元正８胞体の３次元投影（点心模型）

　白銀菱形六面体４つにより菱形１２面体を作る．これが正８胞体の表側で，裏側も考えれば正８胞体になる（４ピース）．

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【５】４次元正１６胞体の３次元投影（胞心模型）

　正四面体の各面上に各面が直角二等辺三角形の正三角錐を４つ貼り付けると，各側面に対角線が１本ずつ入った立方体ができる．

　その側面を正四面体が対角線をもった正方形に退化したものと考えて，さらに裏側も考えれば５＋６＋５＝１６個の正四面体状胞体が集まった正１６胞体になる（５ピース）．

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【６】４次元正２４胞体の３次元投影（胞心模型）

　正八面体の各面上に扁平な８面体を８つ貼り付けて，正方形面に対角線が２本ずつ入った立方八面体を作る．

　その正方形面を正八面体が対角線をもった正方形に退化したものと考えて，さらに裏側も考えれば９＋６＋９＝２４個の正八面体状胞体が集まった正２４胞体になる（９ピース）．

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