【２】区分求積法（１７世紀の積分法）

正多角形の頂点のうち，直線に接しているものの一方に目印をつける．そうして正多角形を直線に沿って転がしたとき，正多角形が停止する度に目印をつけた頂点の位置を直線で結んでいく．目印をつけた頂点が再び直線に接したところで回転を止める．このようにして得られた折れ線で囲まれた面積は正多角形の面積のちょうど３倍になっています．

一方，弧長は，正ｎ角形の外接円の半径をｒとすると

　　Ｌn＝４ｒｓｉｎ(π/n)Σｓｉｎ(kπ/n) (k=1=n-1)

で与えられるのですが，

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　＝ｓｉｎ（ｎα／２）・ｓｉｎ｛（ｎ＋１）α／２｝／ｓｉｎ（α／２）

なる関係にα←π／ｎ，ｎ←ｎ−１を代入すると

　　Σｓｉｎ(kπ/n)＝１／ｓｉｎ(π/2n)

　　Ｌn ＝４ｒｓｉｎ(π/n)Σｓｉｎ(kπ/n)

　　　 ＝４ｒｓｉｎ(π/n)／ｓｉｎ(π/2n)　→　８ｒ　　（ｎ→∞）

となります．これによりサイクロイドの弧長が外接円の直径の４倍であることが示されました．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝