ドーナツ面

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

は環状に並べられた円と考えることができ，経線と緯線は円です．

　　ｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径

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【３】カッシーニ曲線

　２定点（−ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．

（答）はカッシーニ曲線．

｛（ｘ＋ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝｛（ｘ−ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝＝ｃ^2

（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 −２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ）＝ｃ^2 −ａ^4

ｒ^4 −２ａ^2 ｒ^2 ｃｏｓ２θ＋ａ^4 ＝ｃ^2

　２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０，すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．

　とくに，定数ｃが２定点間の距離の半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転した形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ），極座標系ではｒ^2 ＝２ａ^2 ｃｏｓ２θとなります．ここで，２定点を（−１／√２，０），（１／√２，０）と定めると，レムニスケートの方程式は極座標で書くとｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標で書くと（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 となります．

　レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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