放物線や指数曲線より下の領域の面積を求めるのは簡単である．

　サイクロイドは直線に沿って円が転がるとき，円周上に固定された点が描く軌跡である．その面積を求めることは放物線や指数曲線よりも難しいが，円の面積の３倍であることはよく知られている．したがって，サイクロイドを囲む長方形領域の面積は円の面積の４倍である（２πｒ×２ｒ＝４πｒ^2）

　これらを積分を使わずに図式的に証明したのが，

　　［参］アポストル，マミコン「ひらめきの幾何学」共立出版

である．円が回転しているどの時点でもこの３倍という比が保たれるのである．

　さらに，半径ｒの円が半径Ｒの固定円に沿って回転するとき，外転サイクロイドでは３＋２ｒ／Ｒ倍，内転サイクロイドでは３−２ｒ／Ｒ倍となる．したがって，両者の和は円の面積の６倍である．

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