【１】ホテリング・ワイルの定理（管状近傍定理）

　パップス・ギュルダンの定理は一般のｎ＋１次元空間内の曲線ついても成立する．すなわち，半径ｒのｎ次元円板を考えることによって，

　　管状ｒ近傍の体積＝半径ｒのｎ次元円板の体積×曲線の長さ

　一般に，Ｓをｎ次元空間におけるｊ次元単体とすると，Ｓの直交ｒ近傍Ｓrは，Ｓと半径ｒのｎ−ｒ次球の直積としても書くことができる．

　　ｖｏｌn（Ｓr）＝ｖｏｌj（Ｓ）ｒ^n-j×ｖｏｌn-j（Ｂn-j）

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　この定理は空間内の図形の周りに肉付けをした体積を求める公式である．たとえば，３次元空間中の半径Ｒの球面Ｓの各点で，Ｓの外側と内側にｒ（Ｒに較べて十分小）の幅をつけた体積を考えると，

　　Ｖ＝４π（Ｒ＋ｒ）^3／３−４π（Ｒ−ｒ）^3／３

　　　＝８πＲ^2ｒ＋８πｒ^3／３

　　　＝（Ｓの面積×肉厚２ｒ）＋２×（半径ｒの球の体積）

　ホテリング・ワイルの式は球面に対してだけでなく，それと同相な曲面すべてに対して成り立つことを主張しているのである．

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