やっと間違いを発見．原点を中心とする円になると勘違いしていたのである．

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　（その９）の計算は正しく，θ＝αのとき，

　　ｃｏｓ^2θ＝（ｒ1^2−ｒ0^2）／ｒ1^2

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）Ｘ^2−２（ｒ1^2＋ｒ0^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

となる．

　これを整理すると

　　（Ｘ^2−ｒ1^2）^2＋２（Ｙ^2＋ｒ0^2）（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ^2＋ｒ0^2）^2＝０

　　｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ＋ｒ0）^2｝｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ−ｒ0）^2｝＝０

　これより，２円

　　Ｘ^2＋（Ｙ＋ｒ0）^2＝ｒ1^2

　　Ｘ^2＋（Ｙ−ｒ0）^2＝ｒ1^2

が得られる．これらは（０，±ｒ0）を中心とする半径ｒ1の双子の円である．

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［結論］

　トーラスを原点を通る平面で切断する．傾き０のとき赤道（円），傾き∞のとき経線（２つに分かれたペアの円），傾きｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1のとき，双子の円（ヴィラソーの円），これらの間は４次曲線になる．

　カッシーニ(1625-1712)は偉大な天文学者であったが，ヴィラソー(1813-1883)も１９世紀の天文学者．

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