高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

　[a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

　　[a0:a1a2,・・,an]→[a0:a1a2,・・,an+1,1,1,1,・・・]=(τAn-1+An)/(τBn-1+Bn)

のように表現できる。

　[0:1,3,1,1,・・・]

　[0:1,1,3,1,・・・]

　[0:1,1,1,3,・・・]

などを求めてみたいのであるが、・・・。

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　[0:1,1,1,2]

1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))

=1/(1+1/(1+2/3))

=1/(1+3/5)=5/8

　[0:1,1,1]=[0:1,2]

=1/(1+1/2)=2/3

したがって、

　[0:1,1,1,3,・・・]=(2τ+5）/（3τ＋8）

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　[0:1,1,2]

1/(1+1/(1+1/2))

=1/(1+2/3)

=3/5

　[0:1,1]=[0:2]

1/2

したがって、

　[0:1,1,3,1,・・・]=(τ+3）/（2τ＋5）

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　[0:1,2]

1/(1+1/2)=2/3

　[0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

　[0:1,3,1,1,・・・]=(τ+2）/（τ＋3）

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(aτ+b）/（cτ＋d）の係数a,b,c,dがフィボナッチ数列になっている。

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