ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のためには平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．

　　ｒ＝２^1/12=1.059463094

としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，この指数関数を平均律関数と呼ぶことにします．

　ｒは無理数ですから，ピタゴラス音階のように整数比で表すことはできません。

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２：１の１２等分ではなく、３：１の１３等分する音階も提唱されているそうです。

　　ｒ＝３^1/13

　この音階では５と７の１３乗が３の整数乗に非常に近いところから由来していて，整数比５：３，７：５，９：７から３^(k/13)をすばらしく近似した音階を構成することができます．

　　５^13　〜　３^19，　７^13　〜　３^23

おもしろいことに(3,5,7)も指数(13,19,23)もはすべて素数である。

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