商がａになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ａ＋１）^2／（（ａ＋１）^2−１））

　商が１になる確率はｌｏｇ2（４／３）＝４１．５０４％

　商が２になる確率はｌｏｇ2（９／８）＝１６．９９３％

　商が３になる確率はｌｏｇ2（１６／１５）＝９．３１１％

　商が４になる確率はｌｏｇ2（２５／２４）＝５．８８９％

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　ところで，ｎ→∞のとき，

　　Σｌｏｇ2（ｎ^2／（ｎ^2−１））→１

は保証されているのだろうか？

　　Σｌｏｇ2（ｎ^2／（ｎ^2−１））

＝Σ｛ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））｝

＝ｌｏｇ2２−ｌｏｇ2（１＋１／２）＋・・・−ｌｏｇ2（１＋１／ｎ）

→ｌｏｇ2２＝１

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【補】ベンフォードの法則

　１９３８年，ＧＥの物理学者ベンフォードは対数表の対数表の最初が残りの部分よりもひどく汚れていることに気づき，「１ではじまる数が多いのはなぜか」という問題に説明を与えました．

　先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字（０〜９）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率１／９で現れるはずですが，実際には１から始まる数値が圧倒的に多く３０％くらいもあります．

　たとえば，簡単な例として，２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

　　２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・

　　→２，４，８，１，３，６，１，２，５，１，２，・・・

となっているのですが，倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が４５−４９で始まっていなければなりません．それに対して，５−９で始まる数はどれも倍にすると１で始まる数になります．そして，最大桁がｋ（１≦ｋ≦９）である確率はｎ→∞のとき，

　　ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

に収束することが知られています．

　したがって，最大桁の頻度は１が一番高く

　　１→ｌｏｇ10２＝０．３０１０，

以下，

　　２→ｌｏｇ10３／２＝０．１７６１，

　　３→ｌｏｇ10４／３，

　　・・・・・・・・・，

　　９→ｌｏｇ10１０／９＝．０４５８

の順になるというわけです．

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