数列a0=0, a1=1,ak+2=ak+ak+1

の隣り合う2項の比は1/τに収束する

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　数列a0=0, a1=1,ak+2=ak+2ak+1

の隣り合う2項の比は√2-1に収束する

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π-3の連分数展開は[0:7,15,1,291,・・・]より

πの近似分数は22/7,333/106,355/113,103993/33102、・・・となるが

次の連分数が大きいため、22/7.355/113が非常に良い近似値になる。

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e-2の連分数展開は[0:1,2,1,1,4,1,1,6,・・・]より

近似分数は1/1,2/3,3/4,5/7,23/32,28/39,51/71.334/334/465,・・・となるが、あまり良い近似は得られない。

しかし、(e-1)/(e+1)の連分数展開から、eに換算して

19/7.193/71,2721/1001,49171/18089、・・・が大変良い近似分数になる。

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　有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になります．たとえば，超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］　　　（オイラーの公式）

すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？

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【１】ランベルトの公式

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］　　　（オイラーの公式）

に対して，ランベルトの公式とは

　　｛ｅｘｐ（２／ｍ）＋１｝／｛ｅｘｐ（２／ｍ）−１｝

　＝［ｍ，３ｍ，・・・，（２ｎ＋１）ｍ，・・・］

とくに，ｍ＝２とおけば

　　（ｅ＋１）／（ｅ−１）＝［２，６，・・・，２（２ｎ＋１），・・・］

　なお，

　　２／（√ｅ−１）＝［１，６，・・・，２（２ｎ＋１），・・・］

なども知られている．

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