高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

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　[a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

　　v=(τAn+An-1)/(τBn+Bn-1)

のように表現できる。

(81τ+334)/(73τ+301)=1+(8τ+33)/(73τ+301)

(8τ+33)/(73τ+301)＝(16τ+66)/(146τ+602)

＝(8√5+74)/(73√5+675）

＝-5156/(73√5+675）(8√5-74)

＝5156/(47030+2√5)

＝2578/(23515+√5)

＝1/（9+（313+√5）/2578）

＝1/（9+97964/2578（313-√5）)

＝1/（9+97964/806914-2578√5）)

＝1/（9+1/(8+(23202-2578√5）/97964)

＝1/（9+1/(8+(11601-1289√5）/48982)

＝1/（9+1/(8+(126275596/48982(11601+1289√5）)

＝1/（9+1/(8+(126275596）/(568240182+63137798√5)

＝1/（9+1/(8+1/(4+(63137798+63137798√5)/(126275596）

＝1/（9+1/(8+1/(4+(1+√5)/2)

＝1/（9+1/(8+1/(5+(√5-1)/2)

＝1/（9+1/(8+1/(5+1/(√5+1)/2)

＝1/（9+1/(8+1/(5+1/(1+(√5-1)/2)

＝1/（9+1/(8+1/(5+1/(1+1/(√5+1)/2)

1だけずれているが・・・

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33・73-8・301＝1

9・8-1・73＝-1

33/301＝1/（9+4/33）

33/301＝1/（9+1/（8+1/4）

したがって、[0:a1a2,・・,an]→[0:a1a2,・・,an+1,1,1,1,・・・]

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