平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）　　　　２＜√２＋１＜３

　　　　＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

ができあがります．

また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

で表されます．黄金比φ＝（１＋√５）／２が，無限連分数

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

や無限の入れ子の根号

　　φ＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・

で３通りにも表されるという事実は魔法のようにさえ思えます．

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　　(3-√5)/2＝0＋1／（3+√5）/2

　　　　＝0＋１／｛２＋（√5−１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（√5＋１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（1＋（√5−１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（1＋１／（√5＋１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／｛1＋１／｛1＋１／｛1＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　(3-√5)/2＝［0：２，1，1，1，・・・］

ができあがります．

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w=[0:a1,a2,a3,・・・]とする。このとき、1-wに対する連分数は

1-w=[0:1,a1-1,a2,a3,・・・]=[0:b1,b2,b3,b4,・・・]

b1=1,b2=a1-1,b3=a2,b4=a3

もし、a1-1=0ならば1-(1-w)に対する連分数はwに対する連分数に等しいから

1-(1-w)=[0:1,b1-1,b2,b3,b4,・・・]=[0:a1,a2,a3,・・・]

a1=1,a2=b1-1,a3=b2,a4=b3

a1=1,a2=0,a3=a1-1,a4=a2

[・・・,am,0,am+2,am+3,・・・]＝[・・・,am+am+2,am+3,am+4,am+5,・・・]

w=(√5-1)/2=[0:1,1,1,・・・]

1-w=(3-√5)/2=[0:1,0,1,1,・・・]=［0：２，1，1，1，・・・］

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