平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）　　　　２＜√２＋１＜３

　　　　＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

ができあがります．

また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

で表されます．黄金比φ＝（１＋√５）／２が，無限連分数

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

や無限の入れ子の根号

　　φ＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・

で３通りにも表されるという事実は魔法のようにさえ思えます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　(3-√5)/2＝0＋1／（3+√5）/2

　　　　＝0＋１／｛２＋（√5−１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（√5＋１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（1＋（√5−１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／（1＋１／（√5＋１）/2｝

　　　　＝0＋１／｛２＋１／｛1＋１／｛1＋１／｛1＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　(3-√5)/2＝［0：２，1，1，1，・・・］

ができあがります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝