■数直線上の集合(その19)
昨年、京大数理解析研で行われた研究会に参加.秋山茂樹先生(筑波大学)による平面上にらせん状に離散的に配置された点集合(ri,θi)がドローネー集合(相対稠密かつ一様離散な集合)になるための条件についての講演がなされた.
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[1]riについては,r^1/2のオーダーであること.
[2]θiについては,無理数であるだけでは十分条件にならず,連分数展開に現れる整数が有限個を除いてすべて1か2とかというもの,たとえば,
[a]黄金比:p=1,q=1→(1+√5)/2
連分数展開[1:1,1,1,・・・]
[b]白銀比:p=2,q=1→(1+√2)
連分数展開[2:2,2,2,・・・]
[c]青銅比:p=3,q=1→(3+√13)/2
連分数展開[3:3,3,3,・・・]
から整数部分を除去したものが最適であること.
[3]具体的には1/φ^2はよいが,π−3はNGであること.
[4](ri,θi)がドローネー集合であるとき,(ri,θi^k),k=1/2はドローネー集合であるが,1/2<k<1はドローネー集合にはならないこと.
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